準備6 指数関数と対数¶
スイッチを入れた直後の電圧や電流の変化（過渡現象）は、指数関数で表されます。電気回路III の前半で繰り返し使うので、ここで意味を確認します。
「いまの量に比例して減る」変化¶
熱いお茶は、はじめは速く冷め、室温に近づくほどゆっくり冷めます。冷める速さが「室温との温度差」に比例しているからです。このように、変化の速さがその時点の量に比例する 現象は、身のまわりに多くあります。
この種の変化を表すのが 指数関数 です。「一定の時間がたつごとに、一定の割合になる」という性質を持ちます。1 時間ごとに半分になる量は、2 時間後に \(\frac{1}{4}\)、3 時間後に \(\frac{1}{8}\) になります。
ネイピア数 e¶
指数関数の底（何倍ずつ変わるかの基準）には、\(e = 2.718\cdots\) という数を使います。この数を選ぶ理由は、微分したときの形が最も簡単になるからです。
\(e^{at}\) を微分すると、自分自身の \(a\) 倍になります。「変化の速さが自分自身に比例する」という性質が、そのまま式になっています。\(a\) が負なら減衰、正なら増大です。
時定数¶
回路の過渡現象では、減衰の速さを 時定数 \(\tau\)（タウ）で表し、\(e^{-t/\tau}\) の形に書きます。
時定数ごとの値を覚えておくと、計算せずに変化のようすを見積もれます。
| 経過時間 | \(e^{-t/\tau}\)（残り） | \(1 - e^{-t/\tau}\)（到達した割合） |
|---|---|---|
| \(\tau\) | 0.368 | 0.632 |
| \(2\tau\) | 0.135 | 0.865 |
| \(3\tau\) | 0.050 | 0.950 |
| \(5\tau\) | 0.007 | 0.993 |
\(5\tau\) たてば、変化はほぼ終わったとみなせます。
時定数にはもう 1 つの読み方があります。出発した瞬間の勢いがそのまま続いたとすると、ちょうど \(\tau\) 秒で終点に届きます（シミュレータの点線）。実際には途中で勢いが弱まるので、\(\tau\) 秒では 63% までしか届きません。
指数の計算規則¶
かけ算が指数の足し算になります。準備1の \(10^a \times 10^b = 10^{a+b}\) と同じ規則です。
対数：指数の逆¶
「\(e\) を何乗すると \(x\) になるか」を表す数を、\(x\) の 自然対数 と呼び、\(\ln x\) と書きます（\(\log_e x\) と同じ意味です）。
対数は、指数関数の式から時間を求めるときに使います。
例：コンデンサの電圧が電源の 90% に達する時間
\(1 - e^{-t/\tau} = 0.9\) を解きます。\(e^{-t/\tau} = 0.1\) の両辺の自然対数をとると \(-\dfrac{t}{\tau} = \ln 0.1 = -2.30\)。したがって \(t = 2.30\,\tau\) です。
よく使う値は \(\ln 2 = 0.693\)、\(\ln 10 = 2.303\) です。量が半分になる時間（半減期）は \(0.693\,\tau\) です。
底を 10 にした対数を 常用対数 と呼び、\(\log_{10} x\) と書きます。「10 を何乗すると \(x\) になるか」で、\(\log_{10} 1000 = 3\) です。周波数特性のグラフの横軸（1 目盛りで 10 倍）は、この常用対数の目盛りです。
対数の計算規則は、指数の規則を裏返したものです。
デシベル¶
電圧や電力の比を、常用対数を使って表した単位が デシベル（dB）です。
| 電圧比 | 1 | \(1/\sqrt{2}\) | 1/2 | 1/10 | 1/100 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| dB | 0 | −3 | −6 | −20 | −40 | +20 |
フィルタの遮断周波数や共振回路の帯域幅で出てくる「\(1/\sqrt{2}\) 倍」は、−3 dB にあたります。電力でいえば半分です。
複素数の指数関数¶
指数が虚数のときは、電気回路I 第8回のオイラーの公式
が成り立ちます。実数の指数 \(e^{\sigma t}\) は増大・減衰を、虚数の指数 \(e^{j\omega t}\) は回転（振動）を表します。両方を合わせた \(e^{(\sigma + j\omega)t}\) は「減衰しながら振動する」波で、電気回路III 第4回のラプラス変換は、回路の応答をこの形の波の組み合わせとして扱う方法です。