第5回　ラプラス変換による回路解析¶

この回の位置づけ

シラバス（電気回路III）：過渡現象4（教科書続電気回路の基礎 4章 4.3 続き、配布資料）。ラプラス変換による回路解析について学ぶ。

必要な準備：第3回、第4回

この回の目標：回路素子を \(s\) の関数のインピーダンスに置きかえ、微分方程式を立てずに過渡現象を解ける。

回路を直接 s の世界に移す¶

第4回では、微分方程式を立ててからラプラス変換しました。この回では、微分方程式を立てる段階を省き、回路図そのものを \(s\) の世界に移してから 解きます。電気回路I で、回路図の素子をインピーダンスに書きかえてからフェーザで解いたのと同じ進め方です。

各素子の電圧と電流の関係をラプラス変換します。大文字 \(V(s)\)、\(I(s)\) は、電圧と電流のラプラス変換です。

抵抗：\(v = Ri\) はそのまま \(V(s) = R\,I(s)\)。

インダクタ：\(v = L\dfrac{di}{dt}\) に微分の性質を使うと

\[ V(s) = sL\,I(s) - L\,i(0) \]

コンデンサ：\(i = C\dfrac{dv}{dt}\) から \(I(s) = sC\,V(s) - C\,v(0)\)。\(V(s)\) について解くと

\[ V(s) = \frac{1}{sC}I(s) + \frac{v(0)}{s} \]

初期値が 0 の場合、3 つの素子はどれも「\(V(s) = Z(s)\,I(s)\)」の形になります。

素子	交流（フェーザ）	\(s\) 領域	初期値がある場合に加わるもの
抵抗	\(R\)	\(R\)	なし
インダクタ	\(j\omega L\)	\(sL\)	直列の電圧源 \(L\,i(0)\)（電流を保つ向き）
コンデンサ	\(\dfrac{1}{j\omega C}\)	\(\dfrac{1}{sC}\)	直列の電圧源 \(\dfrac{v(0)}{s}\)

\(j\omega\) を \(s\) に置きかえるだけ です。この \(Z(s)\) を使えば、直列・並列の合成、分圧・分流、網目電流法、テブナンの定理など、これまでの方法がすべて使えます。初期値は、表のとおり追加の電源として回路に書き込みます。

電源も変換します。\(t = 0\) で加える直流電圧 \(E\) は \(\dfrac{E}{s}\) です。

解析の手順¶

\(t < 0\) の回路から、初期値 \(i_L(0)\)、\(v_C(0)\) を求める。
\(t \ge 0\) の回路を \(s\) 領域の回路に描きかえる（素子を \(R\)、\(sL\)、\(\dfrac{1}{sC}\) に、電源をラプラス変換に、初期値を電源として追加）。
直流回路と同じ方法で、求めたい量を \(s\) の関数として求める。
部分分数に分解して逆変換する。

R–C 回路¶

\(R\) と \(C\) の直列回路に、\(t = 0\) で直流電圧 \(E\) を加えます（初期電圧 0）。\(s\) 領域では、電源 \(\dfrac{E}{s}\)、インピーダンス \(R + \dfrac{1}{sC}\) の直列回路なので

\[ I(s) = \frac{E/s}{R + \dfrac{1}{sC}} = \frac{E}{sR + \dfrac{1}{C}} = \frac{E}{R}\cdot\frac{1}{s + \dfrac{1}{RC}} \]

変換表の \(\dfrac{1}{s + a} \to e^{-at}\) から

\[ i(t) = \frac{E}{R}\,e^{-t/RC} \]

コンデンサの電圧は、分圧の式で求めます。

\[ V_C(s) = \frac{E}{s}\cdot\frac{\dfrac{1}{sC}}{R + \dfrac{1}{sC}} = \frac{E}{s}\cdot\frac{\dfrac{1}{RC}}{s + \dfrac{1}{RC}} \quad\longrightarrow\quad v_C(t) = E\left(1 - e^{-t/RC}\right) \]

第3回で微分方程式から求めた結果と一致します。極は \(s = -\dfrac{1}{RC}\) で、時定数の逆数にマイナスをつけた値です。

初期電圧がある場合¶

コンデンサがはじめに \(V_0\) に充電されているとします。\(s\) 領域では、コンデンサに直列に電圧源 \(\dfrac{V_0}{s}\) が加わります。この電源は外の電源 \(\dfrac{E}{s}\) と逆向きに働くので

\[ I(s) = \frac{\dfrac{E}{s} - \dfrac{V_0}{s}}{R + \dfrac{1}{sC}} = \frac{E - V_0}{R}\cdot\frac{1}{s + \dfrac{1}{RC}} \quad\longrightarrow\quad i(t) = \frac{E - V_0}{R}\,e^{-t/RC} \]

です。充電に使われるのは、電源電圧と初期電圧の差です。\(E = 0\) とすれば放電の式になります。

R–L 回路¶

\(R\) と \(L\) の直列回路に直流電圧 \(E\) を加えます（初期電流 0）。

\[ I(s) = \frac{E/s}{R + sL} = \frac{E}{L}\cdot\frac{1}{s\left(s + \dfrac{R}{L}\right)} \]

部分分数に分解すると（\(\dfrac{1}{s}\) の係数は \(s = 0\) を代入して \(\dfrac{E}{L}\cdot\dfrac{L}{R} = \dfrac{E}{R}\)）

\[ I(s) = \frac{E}{R}\left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s + \dfrac{R}{L}}\right) \quad\longrightarrow\quad i(t) = \frac{E}{R}\left(1 - e^{-Rt/L}\right) \]

シミュレータの初期設定「\(K / (s(s + a))\)」が、この形です。

R–L–C 直列回路¶

\[ I(s) = \frac{E/s}{R + sL + \dfrac{1}{sC}} = \frac{E}{L}\cdot\frac{1}{s^2 + \dfrac{R}{L}s + \dfrac{1}{LC}} \]

分母を 0 にする \(s\) は、第3回の特性方程式 \(s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0\) の根そのものです。\(s\) 領域のインピーダンス \(Z(s) = R + sL + \dfrac{1}{sC}\) を 0 にする \(s\) が、回路の過渡応答の形を決めています。

極の種類に応じて、逆変換の形が決まります。

減衰振動（極が複素数 \(-\alpha \pm j\omega_d\)）：分母を平方完成して \((s + \alpha)^2 + \omega_d^2\)。

\[ I(s) = \frac{E}{\omega_d L}\cdot\frac{\omega_d}{(s + \alpha)^2 + \omega_d^2} \quad\longrightarrow\quad i(t) = \frac{E}{\omega_d L}\,e^{-\alpha t}\sin\omega_d t \]

過減衰（極が実数 \(s_1\)、\(s_2\)）：分母を \((s - s_1)(s - s_2)\) と因数分解して部分分数に。

\[ i(t) = \frac{E}{L(s_1 - s_2)}\left(e^{s_1 t} - e^{s_2 t}\right) \]

臨界減衰（重根 \(s = -\alpha\)）：分母が \((s + \alpha)^2\)。

\[ i(t) = \frac{E}{L}\,t\,e^{-\alpha t} \]

数値例

\(E = 10\) V、\(R = 2\) Ω、\(L = 1\) H、\(C = 0.2\) F とします。

\[ I(s) = \frac{10}{s^2 + 2s + 5} = \frac{10}{(s + 1)^2 + 2^2} = 5\times\frac{2}{(s + 1)^2 + 2^2} \quad\longrightarrow\quad i(t) = 5\,e^{-t}\sin 2t\ [\text{A}] \]

極は \(s = -1 \pm j2\)。減衰の時定数が 1 s、振動の角周波数が 2 rad/s（周期 3.14 s）です。第4回の極のシミュレータで \(\sigma = -1\)、\(\omega = 2\) とすると、この波形の形（位相は 90° ずれた cos）を確かめられます。

伝達関数とフェーザ法の関係¶

初期値をすべて 0 としたとき、出力の変換と入力の変換の比を 伝達関数 と呼びます。

\[ H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} \]

RC 回路でコンデンサの電圧を出力とすると、\(H(s) = \dfrac{1}{1 + sCR}\) です。

この式で \(s = j\omega\) と置くと、\(\dfrac{1}{1 + j\omega CR}\) になります。これは、電気回路I 第11回と電気回路II 第13回で求めた周波数応答関数です。

フェーザ法は、ラプラス変換で \(s = j\omega\) と置いた特別な場合 です。\(s = \sigma + j\omega\) のうち、減衰を表す \(\sigma\) を 0 にして、持続する正弦波だけを考えたものにあたります。伝達関数 \(H(s)\) が 1 つあれば、\(s = j\omega\) と置いて周波数特性が、極を調べて過渡応答の形が、どちらもわかります。回路の定常状態と過渡現象は、同じ 1 つの関数の 2 つの面です。

まとめ¶

素子を \(R\)、\(sL\)、\(1/(sC)\) に置きかえれば、過渡現象も直流回路と同じ方法で解ける。
初期値は、インダクタでは \(L\,i(0)\)、コンデンサでは \(v(0)/s\) の電圧源として加える。
\(Z(s) = 0\) となる \(s\)（極）が、過渡応答の時定数と振動を決める。
\(s = j\omega\) と置くと、交流のフェーザ法になる。

第5回 ラプラス変換による回路解析¶