第11回 2ポート回路①（Z パラメータ）¶
この回の位置づけ
シラバス（電気回路II）：2ポート回路①（教科書 続 第2章）。2ポート回路の Z パラメータ表現式と算定法を学び、2ポート回路の直列接続回路の解析法を学ぶ。
必要な準備：準備5 行列と行列式、第9回
この回の目標：2ポート回路の考え方を説明でき、与えられた回路の Z パラメータを求められる。
1ポート回路と 2ポート回路¶
端子の対（電流が入る端子と、同じ大きさの電流が出ていく端子の組）を ポート と呼びます。
これまで扱ってきた 2端子回路は、ポートが 1 つの 1ポート回路 です。中身がどれほど複雑でも、外から見た性質は 1 個のインピーダンス \(\dot{Z}\)（または、電源を含むならテブナン等価回路）で表せました。
増幅器、フィルタ、変圧器、送電線などは、信号や電力が入る入口と、出ていく出口を持っています。このような、ポートが 2 つある回路を 2ポート回路（2端子対回路、4端子回路）と呼びます。入口側をポート 1、出口側をポート 2 とします。
2ポート回路の考え方は、中身を見ずに、入口と出口の電圧・電流の関係だけで回路を表す ことです。自動販売機を使うとき、内部の機構を知らなくても「お金を入れると商品が出る」という入出力の関係がわかっていれば足りるのと同じです。
4 つの量と 2 つの関係式¶
2ポート回路の外から見える量は、\(\dot{V}_1\)、\(\dot{I}_1\)、\(\dot{V}_2\)、\(\dot{I}_2\) の 4 つです。電流は、どちらのポートでも 回路に流れ込む向き を正とします（F パラメータだけは例外で、第13回で説明します）。
内部に電源を含まない線形回路では、4 つのうち 2 つを決めると、残りの 2 つが決まります。その関係は 2 本の一次式で書け、係数は 4 個です。どの 2 つを「決める側」に選ぶかによって、係数の組（パラメータ）の種類が変わります。
| パラメータ | 決める量 | 求まる量 | 向いている接続 | 回 |
|---|---|---|---|---|
| Z（インピーダンス） | \(\dot{I}_1\)、\(\dot{I}_2\) | \(\dot{V}_1\)、\(\dot{V}_2\) | 直列接続 | 第11回 |
| Y（アドミタンス） | \(\dot{V}_1\)、\(\dot{V}_2\) | \(\dot{I}_1\)、\(\dot{I}_2\) | 並列接続 | 第12回 |
| F（縦続） | \(\dot{V}_2\)、\(\dot{I}_2\) | \(\dot{V}_1\)、\(\dot{I}_1\) | 縦続接続 | 第13回 |
Z パラメータ¶
電流を決めたときの電圧を表す形です。
1ポート回路の \(\dot{V} = \dot{Z}\dot{I}\) を、2 つのポートに広げた式です。4 つの係数はすべてインピーダンスの単位（Ω）を持ちます。
求め方：片方のポートを開放する¶
各パラメータは、片方の電流を 0 にする（そのポートを 開放 する）と、1 つずつ取り出せます。
縦棒の右下は「この条件のもとで」という意味です。それぞれの意味は次のとおりです。
| パラメータ | 意味 |
|---|---|
| \(\dot{Z}_{11}\) | 出力を開放したとき、入力側から見たインピーダンス |
| \(\dot{Z}_{21}\) | 出力を開放して入力に電流を流したとき、出力に現れる電圧の割合 |
| \(\dot{Z}_{12}\) | 入力を開放して出力に電流を流したとき、入力に現れる電圧の割合 |
| \(\dot{Z}_{22}\) | 入力を開放したとき、出力側から見たインピーダンス |
開放した状態で測るので、Z パラメータを 開放インピーダンスパラメータ とも呼びます。
T 形回路の Z パラメータ¶
シミュレータの回路は、直列の枝 \(\dot{Z}_a\)、\(\dot{Z}_b\) と並列の枝 \(\dot{Z}_c\) を T の字につないだ T 形回路 です。
出力を開放すると、\(\dot{Z}_b\) には電流が流れません。入力の電流 \(\dot{I}_1\) は \(\dot{Z}_a\) と \(\dot{Z}_c\) を流れるので、\(\dot{V}_1 = (\dot{Z}_a + \dot{Z}_c)\dot{I}_1\)。出力の電圧は \(\dot{Z}_c\) の電圧そのもの（\(\dot{Z}_b\) での電圧降下が 0 のため）で、\(\dot{V}_2 = \dot{Z}_c\dot{I}_1\)。入力を開放した場合も同様に考えると
が得られます。この結果は、第9回の閉路電流方程式の規則そのものです。入力側の閉路と出力側の閉路について、対角が「一周のインピーダンスの和」、対角以外が「共有する枝」になっています（2 つの電流が \(\dot{Z}_c\) を同じ向きに流れるので、符号は正です）。
シミュレータで「出力端子を開放する」にチェックを入れた状態では、\(V_1 / I_1\) が \(Z_{11}\) に、\(V_2 / I_1\) が \(Z_{21}\) に一致します。
相反性と対称性¶
抵抗、インダクタ、コンデンサ、変圧器だけでできた回路では、必ず
が成り立ちます。これを 相反性 と呼びます。「入口に電流を流して出口の電圧を測る」のと「出口に同じ電流を流して入口の電圧を測る」のとで、同じ結果になるという性質です。相反な回路では、独立なパラメータは 3 個です。
さらに \(\dot{Z}_{11} = \dot{Z}_{22}\) が成り立つ回路を 対称 な回路と呼びます。入口と出口を入れかえても、外から見た性質が変わりません。T 形回路では \(\dot{Z}_a = \dot{Z}_b\) のときです。
負荷をつないだときの計算¶
Z パラメータがわかっていれば、ポートに何をつないでも、2 本の式に外部の条件を加えるだけで計算できます。
出力に負荷 \(\dot{Z}_L\) をつなぐと、\(\dot{I}_2\) を流れ込む向きに決めているので、\(\dot{V}_2 = -\dot{Z}_L\dot{I}_2\) です。これを 2 本目の式に入れて \(\dot{I}_2\) を消去すると、入力側から見たインピーダンスが求まります。
シミュレータのチェックを外して負荷をつなぎ、\(V_1 / I_1\) が \(Z_{11}\) から変化することを確かめてください。負荷を大きくしていくと、開放のときの値 \(Z_{11}\) に近づきます。
直列接続¶
2 つの 2ポート回路の入力どうし、出力どうしをそれぞれ直列につなぐ接続を 直列接続 と呼びます。両方の回路に同じ電流 \(\dot{I}_1\)、\(\dot{I}_2\) が流れ、電圧は 2 つの回路の和になります。したがって、全体の Z パラメータは、それぞれの Z パラメータの行列の和です。
直列につないだ 2 個の抵抗の合成が \(R_1 + R_2\) になるのと同じ関係です。Z パラメータは、直列接続を計算するのに適した表現です。
数値例（シミュレータの初期設定）
\(Z_a = 10\)、\(Z_b = 20\)、\(Z_c = 30\) Ω の T 形回路では
出力を開放して \(V_1 = 10\) V を加えると、\(I_1 = 10/40 = 0.25\) A、\(V_2 = 30 \times 0.25 = 7.5\) V です。
出力に 20 Ω の負荷をつなぐと、\(Z_{in} = 40 - \dfrac{30 \times 30}{50 + 20} = 27.1\) Ω になります。
まとめ¶
- 2ポート回路は、入口と出口の電圧・電流の関係だけで回路を表す考え方。
- Z パラメータ：\([\dot{V}] = [\dot{Z}][\dot{I}]\)。片方のポートを開放して求める。
- T 形回路では \(\dot{Z}_{11} = \dot{Z}_a + \dot{Z}_c\)、\(\dot{Z}_{12} = \dot{Z}_{21} = \dot{Z}_c\)、\(\dot{Z}_{22} = \dot{Z}_b + \dot{Z}_c\)。
- 受動素子だけの回路は相反（\(\dot{Z}_{12} = \dot{Z}_{21}\)）。
- 直列接続では Z パラメータの行列を足す。