第3回　微分方程式による回路解析¶

この回の位置づけ

シラバス（電気回路III）：過渡現象2（教科書続電気回路の基礎 4章 4.1、4.2、配布資料）。微分方程式による回路解析について学ぶ。

必要な準備：第2回、電気回路I 第2回

この回の目標：R–L、R–C、R–L–C 回路の過渡現象について、微分方程式を立て、初期条件を決め、解を求められる。

解析の手順¶

スイッチを切りかえた後の回路について、キルヒホッフの電圧則（または電流則）から微分方程式を立てる。
スイッチを切りかえる前の回路から、初期条件を決める。
第2回の方法で解く。

初期条件の決め方¶

スイッチを切りかえる瞬間を \(t = 0\) とし、直前を \(t = 0^-\)、直後を \(t = 0^+\) と書きます。次の 2 つの量は、切りかえの前後で値が変わりません。

\[ i_L(0^+) = i_L(0^-), \qquad v_C(0^+) = v_C(0^-) \]

インダクタの電流とコンデンサの電圧は、それぞれ磁界と電界にためたエネルギー（\(\frac{1}{2}Li^2\)、\(\frac{1}{2}Cv^2\)）に対応しています。エネルギーは一瞬では出し入れできないので、この 2 つの量は連続します。水のたとえでは、重い水車の回転の速さと、タンクの水位です。

それ以外の量（抵抗の電圧、コンデンサの電流、インダクタの電圧など）は、切りかえの瞬間に不連続に変わることがあります。

R–C 回路¶

抵抗 \(R\) とコンデンサ \(C\) の直列回路に、\(t = 0\) で直流電圧 \(E\) を加えます。コンデンサの初期電圧は 0 とします。

電圧則から \(R\,i + v_C = E\)。コンデンサの電流は \(i = C\dfrac{dv_C}{dt}\) なので

\[ RC\frac{dv_C}{dt} + v_C = E \]

です。第2回の形と比べると、時定数 \(\tau = RC\)、最終値 \(E\)、初期値 0 なので

\[ v_C(t) = E\left(1 - e^{-t/RC}\right), \qquad i(t) = C\frac{dv_C}{dt} = \frac{E}{R}e^{-t/RC} \]

となります。

電流は、スイッチを入れた瞬間に 0 から \(E/R\) へ飛び上がります。コンデンサの電圧が 0 のままなので、電源電圧がすべて抵抗にかかるからです。コンデンサの電圧は連続ですが、電流は不連続です。

放電¶

充電されたコンデンサ（電圧 \(E\)）を、抵抗 \(R\) を通して放電させます。電源がないので右辺が 0 になり、最終値は 0、初期値は \(E\) です。

\[ v_C(t) = E\,e^{-t/RC} \]

充電と放電を繰り返すようすを見ます。

切りかえの間隔を時定数より長くすると、毎回ほぼ最後まで充電・放電が進みます。短くすると、途中で打ち切られ、電圧は中間の狭い範囲を行き来するようになります。方形波を RC 回路に通すと角が丸くなるのは、このためです。

R–L 回路¶

抵抗 \(R\) とインダクタ \(L\) の直列回路に、\(t = 0\) で直流電圧 \(E\) を加えます。電圧則から

\[ L\frac{di}{dt} + R\,i = E \quad\text{すなわち}\quad \frac{L}{R}\frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R} \]

時定数 \(\tau = \dfrac{L}{R}\)、最終値 \(\dfrac{E}{R}\)、初期値 0 なので

\[ i(t) = \frac{E}{R}\left(1 - e^{-Rt/L}\right), \qquad v_L(t) = L\frac{di}{dt} = E\,e^{-Rt/L} \]

です。

R–C 回路と比べると、電圧と電流の役割が入れかわっています。インダクタの電流は連続で、電圧が不連続に変わります。

電流を切るとき¶

電流 \(I_0\) が流れているインダクタの回路を、スイッチで切ることを考えます。インダクタの電流は急には 0 になれないので、流れ続けようとします。スイッチの接点が離れて抵抗が非常に大きくなると、\(v = Ri\) によって接点の間に非常に高い電圧が生じ、火花（アーク）が飛びます。

モーターやリレーのコイルを切るスイッチには、この高電圧を逃がすための部品（ダイオードや、抵抗とコンデンサを組み合わせた回路）が並列につけられています。ガソリン車の点火装置は、逆にこの現象を利用して高電圧を作っています。

1 階の回路のまとめ¶

	R–C 回路	R–L 回路
連続する量	コンデンサの電圧 \(v_C\)	インダクタの電流 \(i_L\)
時定数	\(\tau = RC\)	\(\tau = L/R\)
\(t = 0^+\) での素子	電圧源（\(v_C(0)\)。0 なら短絡）	電流源（\(i_L(0)\)。0 なら開放）
\(t \to \infty\) での素子	開放	短絡

どの量についても、解は \(y(t) = y(\infty) + \{y(0^+) - y(\infty)\}e^{-t/\tau}\) の形です。初期値と最終値は、表の置きかえをした直流回路を解けば求まるので、微分方程式を毎回解き直す必要はありません。

抵抗が複数ある回路では、時定数の \(R\) として、コンデンサ（またはインダクタ）の両端から見たテブナン等価回路の内部抵抗を使います。

例題

\(E = 12\) V、\(R_1 = 4\) kΩ、\(R_2 = 12\) kΩ の分圧回路の \(R_2\) に、\(C = 100\) μF が並列につながっています。\(t = 0\) で電源を入れたときの \(v_C(t)\) を求めます。

コンデンサから見たテブナン等価回路は、電気回路I 第6回と同じ計算で \(E_0 = 12 \times \dfrac{12}{16} = 9\) V、\(R_0 = 4 \parallel 12 = 3\) kΩ。

初期値：\(v_C(0^+) = 0\)
最終値：\(v_C(\infty) = 9\) V
時定数：\(\tau = R_0 C = 3\times10^3 \times 100\times10^{-6} = 0.3\) s

\[ v_C(t) = 9\left(1 - e^{-t/0.3}\right)\ [\text{V}] \]

R–L–C 直列回路¶

R、L、C の直列回路に、\(t = 0\) で直流電圧 \(E\) を加えます。初期電流と初期電圧は 0 とします。電圧則から

\[ L\frac{di}{dt} + R\,i + v_C = E, \qquad i = C\frac{dv_C}{dt} \]

\(i\) を消去すると、\(v_C\) についての 2 階の微分方程式になります。

\[ \frac{d^2v_C}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{dv_C}{dt} + \frac{1}{LC}v_C = \frac{E}{LC} \]

第2回の形と比べると

\[ \alpha = \frac{R}{2L}, \qquad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]

です。\(\omega_0\) は共振の角周波数と同じ値です。\(\alpha\) と \(\omega_0\) の大小、つまり \(R\) と \(2\sqrt{L/C}\) の大小で、応答が 3 通りに分かれます。

条件	応答
\(R > 2\sqrt{L/C}\)	過減衰：振動せず、ゆっくり \(E\) に近づく
\(R = 2\sqrt{L/C}\)	臨界減衰：振動せず、最も速く \(E\) に近づく
\(R < 2\sqrt{L/C}\)	減衰振動：\(E\) を行き過ぎては戻ることを繰り返しながら近づく

抵抗を小さくしていくと、コンデンサの電圧が電源電圧を超えて振動するようになります。エネルギーがコンデンサ（電界）とインダクタ（磁界）の間を行き来し、そのたびに抵抗で少しずつ失われていく過程です。振り子が、位置エネルギーと運動エネルギーを交換しながら、摩擦で次第に止まっていくのと同じです。

減衰振動のときの解は

\[ v_C(t) = E\left\{1 - e^{-\alpha t}\left(\cos\omega_d t + \frac{\alpha}{\omega_d}\sin\omega_d t\right)\right\}, \qquad i(t) = \frac{E}{\omega_d L}\,e^{-\alpha t}\sin\omega_d t \]

で、\(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}\) が振動の角周波数です。抵抗が小さいほど \(\omega_d\) は \(\omega_0\) に近づき、減衰が遅くなります。共振の鋭さ \(Q\) との間には \(Q = \dfrac{\omega_0}{2\alpha}\) の関係があり、\(Q\) が大きい回路ほど長く振動が続きます。\(Q = 0.5\) が臨界減衰にあたります。

シミュレータの左の図は、特性方程式の根を複素平面（\(s\) 平面）に描いたものです。根が実軸上にあれば振動せず、実軸から離れると振動します。この見方は、第4回のラプラス変換につながります。

まとめ¶

インダクタの電流とコンデンサの電圧は、スイッチの前後で連続する。これが初期条件になる。
1 階の回路は、初期値・最終値・時定数（\(RC\) または \(L/R\)）から解が書ける。
R–L–C 直列回路は、\(R\) と \(2\sqrt{L/C}\) の大小で、過減衰・臨界減衰・減衰振動に分かれる。

第3回 微分方程式による回路解析¶