第4回　ラプラス変換¶

この回の位置づけ

シラバス（電気回路III）：過渡現象3（教科書続電気回路の基礎 4章 4.3、配布資料）。ラプラス変換を用いた微分方程式の解法について学ぶ。

必要な準備：第2回、準備6

この回の目標：変換表と基本的な性質を使って、微分方程式をラプラス変換で解ける。部分分数分解ができる。

何のための道具か¶

電気回路I で、正弦波をフェーザに置きかえると、微分が「\(j\omega\) をかける」というかけ算に変わり、微分方程式を解かずに交流回路が計算できました。ただし、この方法は正弦波の定常状態にしか使えませんでした。

ラプラス変換 は、同じ考え方を過渡現象に広げたものです。時間の関数を別の変数 \(s\) の関数に置きかえると、微分が「\(s\) をかける」というかけ算に変わり、微分方程式が代数の方程式（たし算、かけ算、わり算だけの式）になります。

\[ \text{微分方程式} \ \xrightarrow{\ \text{ラプラス変換}\ }\ \text{代数方程式} \ \xrightarrow{\ \text{解く}\ }\ s \text{ の関数} \ \xrightarrow{\ \text{逆変換}\ }\ \text{時間の関数} \]

大きな数のかけ算を、対数表を使ってたし算に直して計算し、最後に元に戻す方法と同じ発想です。変換と逆変換は表を引いて行うので、実際の作業は代数の計算だけになります。

定義¶

時間の関数 \(f(t)\)（\(t \ge 0\)）のラプラス変換 \(F(s)\) は、次の積分で定義されます。

\[ F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t)\,e^{-st}\,dt \]

この講義では、この積分を毎回計算する必要はなく、次の変換表を使います。小文字 \(f(t)\) が時間の関数、大文字 \(F(s)\) がその変換です。

\(f(t)\)	\(F(s)\)	回路での意味
\(1\)（\(t \ge 0\) で一定）	\(\dfrac{1}{s}\)	スイッチを入れた直流電源
\(t\)	\(\dfrac{1}{s^2}\)	一定の速さで増える量
\(e^{-at}\)	\(\dfrac{1}{s + a}\)	時定数 \(1/a\) の減衰
\(t\,e^{-at}\)	\(\dfrac{1}{(s + a)^2}\)	臨界減衰
\(1 - e^{-at}\)	\(\dfrac{a}{s(s + a)}\)	充電の曲線
\(\sin\omega t\)	\(\dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}\)	正弦波
\(\cos\omega t\)	\(\dfrac{s}{s^2 + \omega^2}\)	正弦波
\(e^{-at}\sin\omega t\)	\(\dfrac{\omega}{(s + a)^2 + \omega^2}\)	減衰振動
\(e^{-at}\cos\omega t\)	\(\dfrac{s + a}{(s + a)^2 + \omega^2}\)	減衰振動

極と時間波形の対応¶

表を見ると、\(F(s)\) の 分母を 0 にする \(s\) の値 が、時間波形の性質を決めていることがわかります。この値を極と呼びます。\(\dfrac{1}{s + a}\) の極は \(s = -a\) で、時間波形は \(e^{-at}\) です。極の値が、そのまま指数の係数になっています。

極は一般に複素数 \(s = \sigma + j\omega\) で、複素平面（\(s\) 平面）上の点として表せます。

× 印をドラッグして、極の位置と波形の関係を確かめてください。

極の位置	時間波形
実軸上の負の側	振動せずに減衰する。左にあるほど速い
原点	一定値
左半面で実軸から離れた位置（上下の組）	振動しながら減衰する。上下に離れるほど振動が速い
虚軸上	減衰しない振動（正弦波）
右半面	時間とともに大きくなる（発散）

実部 \(\sigma\) が減衰の速さ、虚部 \(\omega\) が振動の速さを表します。第2回の特性方程式の根は、この極と同じものです。抵抗を含む受動素子だけの回路では、エネルギーが自然に増えることはないので、極は必ず左半面（または虚軸上）にあります。

基本的な性質¶

線形性：定数倍と和は、そのまま変換できます。

\[ \mathcal{L}\{a\,f(t) + b\,g(t)\} = a\,F(s) + b\,G(s) \]

微分：時間で微分することは、\(s\) をかけて初期値を引くことに変わります。

\[ \mathcal{L}\left\{\frac{df}{dt}\right\} = s\,F(s) - f(0) \]

積分：時間で積分することは、\(s\) で割ることに変わります。

\[ \mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s} \]

微分の性質が、ラプラス変換の中心です。フェーザ法の「微分は \(j\omega\) 倍」に対応していますが、初期値 \(f(0)\) が式の中に自動的に入ってくる点が異なります。第2回では、最後に初期条件から定数を決める手順が必要でしたが、ラプラス変換では初期条件が最初から式に組み込まれます。

微分方程式を解く手順¶

微分方程式の両辺をラプラス変換する（微分の性質と変換表を使う）。
求めたい関数の変換 \(Y(s)\) について、代数的に解く。
\(Y(s)\) を、変換表にある形の和に分解する（部分分数分解）。
表を逆向きに引いて、時間の関数に戻す（逆変換）。

例題

第2回と同じ \(\dfrac{dy}{dt} + 2y = 10\)、\(y(0) = 0\) を解きます。

1. 変換する：左辺は \(\{s\,Y(s) - y(0)\} + 2Y(s)\)、右辺の定数 10 は \(\dfrac{10}{s}\)。

\[ s\,Y(s) + 2Y(s) = \frac{10}{s} \]

2. \(Y(s)\) について解く：

\[ Y(s) = \frac{10}{s(s + 2)} \]

3. 部分分数に分解する：

\[ \frac{10}{s(s + 2)} = \frac{5}{s} - \frac{5}{s + 2} \]

4. 逆変換する：\(\dfrac{1}{s} \to 1\)、\(\dfrac{1}{s + 2} \to e^{-2t}\) なので

\[ y(t) = 5 - 5e^{-2t} \]

第2回の結果と一致します。

部分分数分解¶

手順 3 の分解が、計算の中心になります。分母が因数分解された分数を、それぞれの因数を分母とする簡単な分数の和に分ける操作です。

\[ \frac{K}{(s + a)(s + b)} = \frac{A}{s + a} + \frac{B}{s + b} \]

係数 \(A\) は、次の方法ですぐに求まります。

係数の求め方

求めたい項の分母（\(s + a\)）を、元の式から 手で隠し、残った部分に、その分母を 0 にする値（\(s = -a\)）を代入する。

\[ A = \left.\frac{K}{s + b}\right|_{s = -a} = \frac{K}{b - a}, \qquad B = \left.\frac{K}{s + a}\right|_{s = -b} = \frac{K}{a - b} \]

上の例題では、\(\dfrac{10}{s(s + 2)}\) について、\(\dfrac{1}{s}\) の係数は \(s\) を隠して \(s = 0\) を代入し \(\dfrac{10}{0 + 2} = 5\)、\(\dfrac{1}{s + 2}\) の係数は \((s + 2)\) を隠して \(s = -2\) を代入し \(\dfrac{10}{-2} = -5\) です。

分母に重根がある場合（\((s + a)^2\)）は \(\dfrac{A}{s + a} + \dfrac{B}{(s + a)^2}\) の形に、因数分解できない 2 次式がある場合は、平方完成して減衰振動の形（表の最後の 2 行）に合わせます。

平方完成の例

\[ \frac{10}{s^2 + 2s + 5} = \frac{10}{(s + 1)^2 + 2^2} = 5 \times \frac{2}{(s + 1)^2 + 2^2} \quad\longrightarrow\quad 5\,e^{-t}\sin 2t \]

分母を「\((s + a)^2 + \omega^2\)」の形に直し、分子を \(\omega\) に合わせて係数を調整します。極は \(s = -1 \pm j2\) です。

最終値と初期値を直接求める¶

時間の関数に戻さなくても、\(t \to \infty\) と \(t \to 0\) での値は \(F(s)\) から求められます。

\[ \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} s\,F(s), \qquad \lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{s \to \infty} s\,F(s) \]

上の例題では、\(s\,Y(s) = \dfrac{10}{s + 2}\) に \(s = 0\) を入れて最終値 5、\(s \to \infty\) として初期値 0 が得られます。計算結果の確認に使えます（最終値の式は、極がすべて左半面にあって値が落ち着く場合に限ります）。

まとめ¶

ラプラス変換は、微分を「\(s\) をかける」操作に変え、微分方程式を代数方程式にする。
\(\mathcal{L}\{df/dt\} = sF(s) - f(0)\)。初期条件が自動的に組み込まれる。
\(F(s)\) の極（分母を 0 にする \(s\)）が時間波形を決める。実部が減衰、虚部が振動。
部分分数に分解して、変換表で逆変換する。

第4回 ラプラス変換¶