第12回　2ポート回路②（Y パラメータ）¶

この回の位置づけ

シラバス（電気回路II）：2ポート回路②（教科書続第2章）。2ポート回路の Y パラメータ表現式と算定法を学び、2ポート回路の並列接続回路の解析法を学ぶ。

必要な準備：第10回、第11回

この回の目標：与えられた回路の Y パラメータを求められ、Z パラメータとの関係を説明できる。

Y パラメータ¶

電圧を決めたときの電流を表す形です。

\[ \begin{bmatrix} \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dot{Y}_{11} & \dot{Y}_{12} \\ \dot{Y}_{21} & \dot{Y}_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{bmatrix} \qquad\text{すなわち}\qquad \begin{cases} \dot{I}_1 = \dot{Y}_{11}\dot{V}_1 + \dot{Y}_{12}\dot{V}_2 \\ \dot{I}_2 = \dot{Y}_{21}\dot{V}_1 + \dot{Y}_{22}\dot{V}_2 \end{cases} \]

1ポート回路の \(\dot{I} = \dot{Y}\dot{V}\) を 2 つのポートに広げた式で、4 つの係数はアドミタンスの単位（S）を持ちます。

求め方：片方のポートを短絡する¶

片方の電圧を 0 にする（そのポートを短絡する）と、パラメータを 1 つずつ取り出せます。

\[ \dot{Y}_{11} = \left.\frac{\dot{I}_1}{\dot{V}_1}\right|_{\dot{V}_2 = 0}, \quad \dot{Y}_{21} = \left.\frac{\dot{I}_2}{\dot{V}_1}\right|_{\dot{V}_2 = 0}, \quad \dot{Y}_{12} = \left.\frac{\dot{I}_1}{\dot{V}_2}\right|_{\dot{V}_1 = 0}, \quad \dot{Y}_{22} = \left.\frac{\dot{I}_2}{\dot{V}_2}\right|_{\dot{V}_1 = 0} \]

短絡した状態で測るので、Y パラメータを 短絡アドミタンスパラメータ とも呼びます。Z パラメータの「開放して測る」と対になっています。

π 形回路の Y パラメータ¶

シミュレータの回路は、並列の枝 \(\dot{Y}_a\)、\(\dot{Y}_b\) と直列の枝 \(\dot{Y}_c\) を π の字につないだ π 形回路 です（シミュレータでは枝の値を抵抗で指定していて、\(Y = 1/R\) です）。

出力を短絡すると、\(\dot{Y}_b\) の両端の電圧が 0 になり、そこには電流が流れません。入力から見ると \(\dot{Y}_a\) と \(\dot{Y}_c\) が並列なので、\(\dot{I}_1 = (\dot{Y}_a + \dot{Y}_c)\dot{V}_1\)。\(\dot{Y}_c\) を通った電流 \(\dot{Y}_c\dot{V}_1\) は、短絡した線を通って出力端子から 流れ出ます。\(\dot{I}_2\) は流れ込む向きを正としているので、\(\dot{I}_2 = -\dot{Y}_c\dot{V}_1\) です。入力を短絡した場合も同様に考えると

\[ \dot{Y}_{11} = \dot{Y}_a + \dot{Y}_c, \qquad \dot{Y}_{12} = \dot{Y}_{21} = -\dot{Y}_c, \qquad \dot{Y}_{22} = \dot{Y}_b + \dot{Y}_c \]

が得られます。これは第10回の節点電圧方程式の規則そのものです。対角が「節点に集まるアドミタンスの和」、対角以外が「2 つの節点を結ぶ枝のアドミタンスにマイナス」になっています。

T 形回路には Z パラメータ、π 形回路には Y パラメータが、もっとも簡単な形で対応します。

数値例（シミュレータの初期設定）

左の並列枝 20 Ω、右の並列枝 10 Ω、中央の直列枝 5 Ω の π 形回路では、\(Y_a = 0.05\)、\(Y_b = 0.1\)、\(Y_c = 0.2\) S なので

\[ [Y] = \begin{bmatrix} 0.25 & -0.2 \\ -0.2 & 0.3 \end{bmatrix}\ \text{S} \]

出力を開放して（\(I_2 = 0\)）\(V_1 = 10\) V を加えると、2 本目の式 \(0 = -0.2 \times 10 + 0.3 V_2\) から \(V_2 = 6.67\) V です。直接計算しても、5 Ω と 10 Ω の分圧で \(10 \times \dfrac{10}{5 + 10} = 6.67\) V となり一致します。

Z パラメータとの関係¶

\([\dot{V}] = [\dot{Z}][\dot{I}]\) と \([\dot{I}] = [\dot{Y}][\dot{V}]\) は、同じ回路の同じ関係を、逆向きに書いたものです。したがって、2 つの行列は互いに 逆行列 の関係にあります。

\[ [\dot{Y}] = [\dot{Z}]^{-1} \]

2 行 2 列の逆行列の公式（準備5）から

\[ \begin{bmatrix} \dot{Y}_{11} & \dot{Y}_{12} \\ \dot{Y}_{21} & \dot{Y}_{22} \end{bmatrix} = \frac{1}{\dot{Z}_{11}\dot{Z}_{22} - \dot{Z}_{12}\dot{Z}_{21}} \begin{bmatrix} \dot{Z}_{22} & -\dot{Z}_{12} \\ -\dot{Z}_{21} & \dot{Z}_{11} \end{bmatrix} \]

です。

要素ごとの逆数ではない

\(\dot{Y}_{11}\) は \(1/\dot{Z}_{11}\) ではありません。\(\dot{Z}_{11}\) は出力を開放したときの入力インピーダンス、\(\dot{Y}_{11}\) は出力を短絡したときの入力アドミタンスで、測る条件が違います。行列全体として逆の関係にあります。

第11回の T 形回路（\(Z_{11} = 40\)、\(Z_{12} = 30\)、\(Z_{22} = 50\) Ω）では、行列式が \(40 \times 50 - 30^2 = 1100\) なので、\(Y_{11} = 50/1100 = 0.0455\) S です。\(1/Z_{11} = 0.025\) S とは一致しません。

相反な回路では、\(\dot{Z}_{12} = \dot{Z}_{21}\) から \(\dot{Y}_{12} = \dot{Y}_{21}\) も成り立ちます。

並列接続¶

2 つの 2ポート回路の入力どうし、出力どうしをそれぞれ並列につなぐ接続を 並列接続 と呼びます。両方の回路に同じ電圧 \(\dot{V}_1\)、\(\dot{V}_2\) がかかり、電流は 2 つの回路の和になります。したがって、全体の Y パラメータは、それぞれの Y パラメータの行列の和です。

\[ [\dot{Y}] = [\dot{Y}'] + [\dot{Y}''] \]

並列につないだ 2 個の抵抗の合成コンダクタンスが \(G_1 + G_2\) になるのと同じ関係です。

接続	共通になる量	足し合わせるパラメータ
直列接続	電流	Z パラメータ
並列接続	電圧	Y パラメータ

増幅器の出力の一部を入力に戻す帰還回路の解析などで、並列接続と Y パラメータが使われます。

まとめ¶

Y パラメータ：\([\dot{I}] = [\dot{Y}][\dot{V}]\)。片方のポートを短絡して求める。
π 形回路では \(\dot{Y}_{11} = \dot{Y}_a + \dot{Y}_c\)、\(\dot{Y}_{12} = \dot{Y}_{21} = -\dot{Y}_c\)、\(\dot{Y}_{22} = \dot{Y}_b + \dot{Y}_c\)。
\([\dot{Y}] = [\dot{Z}]^{-1}\)（行列として逆。要素ごとの逆数ではない）。
並列接続では Y パラメータの行列を足す。

第12回 2ポート回路②（Y パラメータ）¶