準備3　角度と三角関数¶

交流の電圧や電流は、時間とともに波の形で変化します。この波を式で書くための道具が三角関数です。ここでは、三角関数を「回転する点の位置」として説明します。

sin と cos は回転する点の座標¶

半径 1 の円（単位円）の上を、点が反時計回りに回るとします。右方向を 0° として、回った角度を \(\theta\)（シータ）と書きます。このとき

と呼びます。観覧車にたとえると、\(\sin\theta\) はゴンドラの高さ（中心を 0 とする）、\(\cos\theta\) は中心から見た左右の位置です。

「自動で回す」にチェックを入れると、点の高さを角度ごとに記録した線が右に描かれていきます。この波の形を 正弦波（サイン波）と呼びます。点が 1 周するごとに、同じ形が繰り返されます。

よく使う値を表にまとめます。

\(\theta\)	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°
\(\sin\theta\)	0	0.5	0.707	0.866	1	0	−1
\(\cos\theta\)	1	0.866	0.707	0.5	0	−1	0

0.707 は \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)、0.866 は \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) です。

単位円の点から横軸に垂線を下ろすと、直角三角形ができます。斜辺の長さが 1、底辺が \(\cos\theta\)、高さが \(\sin\theta\) です。斜辺の長さが \(r\) の直角三角形なら、全体を \(r\) 倍して

\[ \text{底辺} = r\cos\theta, \qquad \text{高さ} = r\sin\theta \]

となります。三平方の定理から \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) も成り立ちます。

高さを底辺で割った値を \(\tan\theta\)（タンジェント）と呼びます。

\[ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{高さ}}{\text{底辺}} \]

逆に、底辺と高さから角度を求める操作を \(\tan^{-1}\)（アークタンジェント）と書きます。底辺 3、高さ 4 の三角形の角度は \(\tan^{-1}\frac{4}{3} \approx 53.1°\) です。関数電卓では tan⁻¹ または atan のキーで計算できます。

角度の単位には、度（°）のほかに ラジアン（rad）があります。ラジアンは「半径 1 の円の上を、点が進んだ道のり」で角度を表す単位です。1 周の道のりは円周の長さ \(2\pi \approx 6.28\) なので

\[ 360° = 2\pi \ \text{rad}, \qquad 180° = \pi \ \text{rad}, \qquad 90° = \frac{\pi}{2} \ \text{rad} \]

となります。度からラジアンへは \(\dfrac{\pi}{180}\) をかけ、ラジアンから度へは \(\dfrac{180}{\pi}\) をかけます。

交流の式ではラジアンを使います。その理由は、回転の速さを「1 秒間に何ラジアン進むか」で表すと、式が簡単になるからです。この速さを 角周波数 と呼び、\(\omega\)（オメガ）と書きます。1 秒間に \(f\) 回転するなら、1 回転が \(2\pi\) rad なので

\[ \omega = 2\pi f \quad [\text{rad/s}] \]

です。時刻 \(t\) までに進む角度は \(\omega t\) になります。

\(\sin(\theta + 30°)\) は、\(\sin\theta\) より 30° 分だけ先に進んだ点の高さです。グラフでは、波の形はそのままで全体が左へ 30° ずれます。この「どれだけ先に進んでいるか」を表す角度を位相と呼びます。

2 つの関係をよく使います。

\[ \cos\theta = \sin(\theta + 90°), \qquad -\sin\theta = \sin(\theta + 180°) \]

1 つ目の式は、cos の波が sin の波を 90° 進めたものであることを表しています。第9回で、コイルとコンデンサの電流が電圧と 90° ずれる理由を説明するときに使います。