第9回　平衡三相回路¶

この回の位置づけ

シラバス（電気回路III）：多相交流2（教科書電気回路の基礎 23章 23.6、23.7、配布資料）。平衡三相回路の Y–Y 回路、Δ–Δ 回路について学ぶ。

必要な準備：第8回、電気回路I 第4回の Δ–Y 変換

この回の目標：平衡三相回路を、1 相分の単相回路に直して計算できる。

平衡三相回路¶

電源が対称三相で、3 つの相の負荷のインピーダンスがすべて等しい回路を 平衡三相回路 と呼びます。平衡していれば、3 つの相で起こることは、位相が 120° ずつずれているだけで、同じです。1 相分だけを計算すれば、残りの 2 相の結果は位相をずらすだけで得られます。

電源と負荷のつなぎ方の組み合わせで、Y–Y、Δ–Δ、Y–Δ、Δ–Y の 4 通りの回路があります。

Y–Y 回路¶

電源も負荷も Y 結線の回路です。電源の中性点 N と負荷の中性点 N′ を、中性線でつないだ場合を考えます。

各相は、電源 \(\dot{E}_a\) → 線 → 負荷 \(\dot{Z}\) → 中性線 → 電源、という独立した閉路になっています。各相の電流は

\[ \dot{I}_a = \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}}, \qquad \dot{I}_b = \frac{\dot{E}_b}{\dot{Z}}, \qquad \dot{I}_c = \frac{\dot{E}_c}{\dot{Z}} \]

で、これも対称三相になります。中性線を流れる電流は、3 つの和です。

\[ \dot{I}_N = \dot{I}_a + \dot{I}_b + \dot{I}_c = \frac{\dot{E}_a + \dot{E}_b + \dot{E}_c}{\dot{Z}} = 0 \]

平衡していれば、中性線には電流が流れません。 電流が流れない線は、あってもなくても同じなので、中性線を取り除いても回路の状態は変わりません。このとき、2 つの中性点 N と N′ は同じ電位です。

単相等価回路¶

N と N′ が同じ電位なので、両者が導線でつながっていると考えて、a 相だけを取り出した回路を描けます。

\[ \text{電源 } \dot{E}_a \ \text{（相電圧）} \quad\longrightarrow\quad \text{負荷 } \dot{Z} \]

これを 単相等価回路 と呼びます。この回路を電気回路I の方法で解けば、線電流（＝相電流）が求まります。線路にインピーダンス \(\dot{Z}_l\) がある場合は、負荷と直列に加えるだけです。

例題（シミュレータの初期設定）

線間電圧 200 V の対称三相電源に、1 相あたり \(\dot{Z} = 8 + j6\) Ω の負荷を Y 結線でつなぎます。

相電圧：\(V_p = 200/\sqrt{3} = 115.5\) V
\(|\dot{Z}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\) Ω、力率 \(\cos\varphi = 8/10 = 0.8\)（遅れ）
相電流（＝線電流）：\(I = 115.5/10 = 11.55\) A（相電圧より 36.9° 遅れ）
1 相の電力：\(I^2 R = 11.55^2 \times 8 = 1067\) W。三相で \(3 \times 1067 = 3200\) W

Δ–Δ 回路¶

電源も負荷も Δ 結線の回路です。負荷の各相には、線間電圧がそのままかかります。

\[ \dot{I}_{ab} = \frac{\dot{V}_{ab}}{\dot{Z}}, \qquad I_l = \sqrt{3}\,I_p \]

例題

同じ電源に、同じ \(\dot{Z} = 8 + j6\) Ω を Δ 結線でつなぎます（シミュレータで結線を切りかえてください）。

相電圧＝線間電圧＝ 200 V
相電流：\(I_p = 200/10 = 20\) A
線電流：\(I_l = \sqrt{3} \times 20 = 34.6\) A
三相の電力：\(3 \times 20^2 \times 8 = 9600\) W

Y 結線のときと比べると、線電流も電力も 3 倍 になっています。各相にかかる電圧が \(\sqrt{3}\) 倍になるので相電流が \(\sqrt{3}\) 倍、さらに線電流が相電流の \(\sqrt{3}\) 倍になるからです。

大型のモーターの始動に使われる Y–Δ 始動法は、この性質を利用しています。始動時は巻線を Y 結線にして電流を 1/3 に抑え、回転が上がってから Δ 結線に切りかえます。

Δ 結線の負荷を Y 結線に換算する¶

Δ 結線には中性点がないので、そのままでは単相等価回路が描けません。電気回路I 第4回の Δ–Y 変換を使うと、Δ 結線の負荷を、外から見て同じ働きをする Y 結線の負荷に置きかえられます。3 つのインピーダンスが等しいときは

\[ \dot{Z}_Y = \frac{\dot{Z}_\Delta}{3} \]

です。

電源が Δ 結線の場合も、線間電圧が同じになる Y 結線の電源（相電圧 \(V_l/\sqrt{3}\)、位相は 30° 遅れ）に置きかえて考えます。

平衡三相回路を解く手順

Δ 結線の負荷を、Y 結線に換算する（\(\dot{Z}_\Delta / 3\)）。
電源を Y 結線に換算する（相電圧＝線間電圧 \(/\sqrt{3}\)）。
a 相だけの単相等価回路を描き、線電流を求める。
必要なら、もとの Δ 結線の相電流（線電流 \(/\sqrt{3}\)）や相電圧に戻す。
b 相、c 相は、位相を 120°、240° 遅らせるだけ。

手順の確認

上の Δ–Δ の例題を、この手順で解きます。負荷を Y に換算すると \(\dot{Z}_Y = (8 + j6)/3\) Ω で、大きさは \(10/3\) Ω。相電圧は 115.5 V。線電流は \(115.5 \div (10/3) = 34.6\) A で、直接求めた結果と一致します。

線路のインピーダンスがある場合や、Y 結線の負荷と Δ 結線の負荷が並列につながっている場合には、この手順が特に役立ちます。全部を Y に直してしまえば、1 相分は直列・並列の合成で解ける単相回路になります。

まとめ¶

平衡三相回路では、中性線の電流は 0 で、電源と負荷の中性点は同じ電位。
1 相分を取り出した単相等価回路（相電圧と 1 相のインピーダンス）で計算できる。
Δ 結線の負荷は \(\dot{Z}_\Delta/3\) の Y 結線に換算する。
同じインピーダンスを Y から Δ につなぎかえると、線電流と電力は 3 倍になる。

第9回 平衡三相回路¶