第2回　微分方程式の解き方¶

この回の位置づけ

シラバス（電気回路III）：過渡現象1（配布資料）。微分方程式の解き方について学ぶ。

この回の目標：回路の過渡現象に現れる 1 階と 2 階の線形微分方程式を、決まった手順で解ける。

微分方程式とは¶

ふつうの方程式は、条件を満たす数を求める問題です。微分方程式 は、条件を満たす関数（時間とともにどう変化するか）を求める問題で、条件の中に「変化の速さ」（微分）が含まれています。

例として、「変化の速さが、最終値との差に比例する」という条件を式にします。

\[ \tau\frac{dy}{dt} + y = Y \]

変形すると \(\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{Y - y}{\tau}\) で、\(y\) が最終値 \(Y\) より小さければ増え、差が大きいほど速く増えます。お湯が室温に近づいていく変化、コンデンサが充電されていく変化が、この式で表されます。

灰色の短い線は、その場所での変化の向きを表しています。川の流れの向きを示す矢印のようなもので、どこから出発しても、その場所の矢印に沿って進んでいきます。微分方程式は「各地点での進む向き」を与える規則で、解は「ある地点から出発したときにたどる道すじ」です。出発点（初期値）を変えると道すじは変わりますが、どれも同じ最終値に近づきます。

1 階線形微分方程式の解き方¶

回路の過渡現象で現れる 1 階の微分方程式は、次の形です。

\[ \frac{dy}{dt} + a\,y = b \qquad (a,\ b \text{ は定数}) \]

解は、2 つの部分の和になります。

\[ y(t) = \underbrace{y_s}_{\text{定常解}} + \underbrace{y_t(t)}_{\text{過渡解}} \]

手順 1：定常解を求める¶

十分に時間がたって変化が止まった状態では、\(\dfrac{dy}{dt} = 0\) です。これを方程式に入れると

\[ a\,y_s = b \quad\Longrightarrow\quad y_s = \frac{b}{a} \]

となります。回路では、直流の定常状態（インダクタは短絡、コンデンサは開放）を解いた値にあたります。

手順 2：過渡解を求める¶

右辺を 0 にした式

\[ \frac{dy_t}{dt} + a\,y_t = 0 \quad\text{すなわち}\quad \frac{dy_t}{dt} = -a\,y_t \]

を解きます。これは「変化の速さが自分自身の \(-a\) 倍」という条件で、これを満たす関数は指数関数です（準備6）。

\[ y_t(t) = A\,e^{-at} \]

\(A\) はまだ決まっていない定数です。

右辺を 0 にする理由は次のとおりです。全体の解 \(y = y_s + y_t\) を元の方程式に代入すると、\(y_s\) がすでに右辺の \(b\) を作り出しているので、\(y_t\) の分は 0 にならなければなりません。過渡解は、外から加える力（右辺）とは無関係に、回路自身の性質だけで決まる変化です。

手順 3：初期条件から定数を決める¶

\(y = \dfrac{b}{a} + A\,e^{-at}\) に \(t = 0\) を代入し、初期値 \(y(0)\) に等しいと置きます。

\[ y(0) = \frac{b}{a} + A \quad\Longrightarrow\quad A = y(0) - \frac{b}{a} \]

結果のまとめ¶

時定数を \(\tau = \dfrac{1}{a}\)、最終値を \(y(\infty) = \dfrac{b}{a}\) と書くと、解は次の 1 つの形にまとまります。

\[ y(t) = y(\infty) + \bigl\{y(0) - y(\infty)\bigr\}\,e^{-t/\tau} \]

初期値、最終値、時定数の 3 つがわかれば、解が書けます。 1 階の回路（R と C、または R と L）の過渡現象は、すべてこの式で表されます。

例題

\(\dfrac{dy}{dt} + 2y = 10\)、\(y(0) = 0\) を解きます。

定常解：\(2 y_s = 10\) から \(y_s = 5\)
過渡解：\(y_t = A\,e^{-2t}\)
初期条件：\(0 = 5 + A\) から \(A = -5\)

\[ y(t) = 5 - 5e^{-2t} = 5\left(1 - e^{-2t}\right) \]

時定数は \(1/2 = 0.5\) s です。検算として元の式に代入すると、\(\dfrac{dy}{dt} = 10e^{-2t}\)、\(2y = 10 - 10e^{-2t}\) で、和は 10 になります。

変数分離による解き方

\(\dfrac{dy}{dt} = -a\,y\) は、\(y\) を含む項と \(t\) を含む項を両辺に分けて積分する方法でも解けます。

\[ \frac{dy}{y} = -a\,dt \quad\Longrightarrow\quad \int\frac{dy}{y} = -a\int dt \quad\Longrightarrow\quad \ln y = -at + K \]

両辺を \(e\) の指数にすると \(y = e^{K}e^{-at} = A\,e^{-at}\) です。指数関数が解になることを、仮定せずに導く方法です。

2 階線形微分方程式の解き方¶

L と C の両方を含む回路では、2 回微分した項が現れます。

\[ \frac{d^2y}{dt^2} + 2\alpha\frac{dy}{dt} + \omega_0^2\,y = b \]

解き方の骨組みは 1 階のときと同じで、定常解と過渡解の和を作り、初期条件で定数を決めます。定常解は \(y_s = \dfrac{b}{\omega_0^2}\) です。

特性方程式¶

過渡解（右辺を 0 にした式の解）として、1 階のときと同じく指数関数 \(y_t = A\,e^{st}\) を仮定します。微分するたびに \(s\) がかかるので、代入すると

\[ (s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2)\,A\,e^{st} = 0 \]

となり、かっこの中が 0 であればよいことがわかります。

\[ s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0 \]

これを 特性方程式 と呼びます。微分方程式が、\(s\) についての 2 次方程式に変わりました。解は

\[ s = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2} \]

です。根号の中の符号によって、解の形が 3 通りに分かれます。

条件	特性方程式の根	過渡解の形	名前
\(\alpha > \omega_0\)	異なる 2 つの負の実数 \(s_1\)、\(s_2\)	\(A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}\)	過減衰
\(\alpha = \omega_0\)	重根 \(s = -\alpha\)	\((A_1 + A_2 t)\,e^{-\alpha t}\)	臨界減衰
\(\alpha < \omega_0\)	複素数の組 \(-\alpha \pm j\omega_d\)	\(e^{-\alpha t}(A_1\cos\omega_d t + A_2\sin\omega_d t)\)	減衰振動

ここで \(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}\) です。根が複素数になると振動が現れるのは、\(e^{j\omega_d t} = \cos\omega_d t + j\sin\omega_d t\)（オイラーの公式）によって、虚数の指数が三角関数になるからです。

2 階なので、決めるべき定数は \(A_1\)、\(A_2\) の 2 個で、初期条件も 2 個（\(y(0)\) と \(\dfrac{dy}{dt}(0)\)）必要です。

たとえ：ドアクローザー

ばねの力で閉まるドアに、油の抵抗で勢いを抑える装置（ドアクローザー）がついています。抵抗が弱すぎるとドアは勢いよく閉まって跳ね返り、何度か揺れてから止まります（減衰振動）。抵抗が強すぎると、なかなか閉まりません（過減衰）。その中間に、跳ね返らずに最も速く閉まる調整があります（臨界減衰）。\(\alpha\) が抵抗の強さ、\(\omega_0\) がばねの強さにあたります。

具体的な回路での計算は第3回で扱います。第4回のラプラス変換を使うと、ここで「仮定して代入する」として行った手順を、表を引く作業に置きかえられます。

まとめ¶

微分方程式は、変化の速さについての条件から、時間的な変化のしかた（関数）を求める問題。
解＝定常解（変化が止まった状態）＋過渡解（右辺を 0 にした式の解）。定数は初期条件から決める。
1 階：\(y(t) = y(\infty) + \{y(0) - y(\infty)\}e^{-t/\tau}\)。
2 階：特性方程式 \(s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0\) の根が、実数 2 つ・重根・複素数のどれかで、過減衰・臨界減衰・減衰振動に分かれる。

第2回 微分方程式の解き方¶