第10回　RLC の直列・並列¶

この回の位置づけ

シラバス：交流回路③（教科書第11章 11.1、11.4、第12章 12.1–12.3）。交流回路素子（抵抗、インダクタ、キャパシタンス）の直列接続、並列接続、交流回路の複素計算法による定常解析を学ぶ。

必要な準備：第3回の直列・並列、第9回のインピーダンス

この回の目標：R・L・C を直列または並列につないだ回路の合成インピーダンス、電流、各素子の電圧を、複素数で計算できる。結果をフェーザ図に描ける。

複素計算法（記号解析法）の手順¶

第9回で、交流でも \(\dot{V} = \dot{Z}\dot{I}\) というオームの法則が成り立つことを示しました。キルヒホッフの法則も、フェーザについてそのまま成り立ちます。したがって、直流回路で使った公式は、抵抗をインピーダンスに、数を複素数に読みかえれば、すべて交流回路に使えます。 この計算方法を複素計算法（記号解析法）と呼びます。

手順は次のとおりです。

電源の正弦波をフェーザに直す（基準にする電源の位相を 0° とする）。
各素子をインピーダンスに直す（\(R\)、\(j\omega L\)、\(1/(j\omega C)\)）。
直流回路と同じ方法で、複素数のまま計算する。
得られたフェーザから、実効値（絶対値）と位相（偏角）を読み取る。必要なら瞬時値の式に戻す。

翻訳にたとえると、正弦波の世界の問題を複素数の世界に翻訳し、そこで簡単な計算をして、答えを正弦波の世界に翻訳し直すという流れです。

RLC 直列回路¶

抵抗 \(R\)、インダクタ \(L\)、キャパシタ \(C\) を直列につなぎます。直列なので、3 つの素子に同じ電流 \(\dot{I}\) が流れます。合成インピーダンスは、直流の直列抵抗と同じく足し算です。

\[ \dot{Z} = R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C} = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right) = R + j(X_L - X_C) \]

左の図は、インピーダンスを複素平面に描いたものです。右向きに \(R\)、上向きに \(jX_L\)、下向きに \(-jX_C\) をつなぐと、原点からの矢印が \(\dot{Z}\) になります。\(X_L\) と \(X_C\) は逆向きなので、打ち消し合います。

極形式に直すと、大きさと角度が求まります。

\[ |\dot{Z}| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}, \qquad \theta = \tan^{-1}\frac{X_L - X_C}{R} \]

これは、底辺 \(R\)、高さ \(X_L - X_C\) の直角三角形の斜辺と角度です。この三角形を インピーダンス三角形 と呼びます。

\(\theta\) は電圧が電流よりどれだけ進んでいるかを表し、回路の性質は次の 3 通りに分かれます。

条件	\(\theta\)	性質
\(X_L > X_C\)	正	誘導性：電流が電圧より遅れる
\(X_L < X_C\)	負	容量性：電流が電圧より進む
\(X_L = X_C\)	0	抵抗だけの回路と同じ（共振、第11回）

周波数のスライダを動かすと、\(X_L\) と \(X_C\) の大きさが入れかわり、回路が容量性から誘導性に変わることを確かめてください。

電圧のフェーザ図¶

右の図は、各素子の電圧のフェーザです。電流 \(\dot{I}\) が 3 つの素子に共通なので、電流を基準（右向き）にして描いています。

\(\dot{V}_R = R\dot{I}\)：電流と同じ向き
\(\dot{V}_L = jX_L\dot{I}\)：電流より 90° 進んだ向き（上）
\(\dot{V}_C = -jX_C\dot{I}\)：電流より 90° 遅れた向き（下）

電源電圧は、キルヒホッフの電圧則から 3 つの和です。

\[ \dot{V} = \dot{V}_R + \dot{V}_L + \dot{V}_C \]

実効値をそのまま足してはいけない

電圧計で測った \(V_R\)、\(V_L\)、\(V_C\) の値を足しても、電源電圧にはなりません。3 つの電圧は山の来るタイミングがずれているからです。足し合わせは、向きを含めた矢印（フェーザ）として行います。大きさについては

\[ V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2} \]

が成り立ちます。\(L\) と \(C\) の値によっては、\(V_L\) や \(V_C\) が電源電圧より大きくなることもあります。

数値例

\(R = 30\) Ω、\(L = 0.2\) H、\(C = 100\) μF の直列回路に、50 Hz、100 V の電圧をかけます（シミュレータの初期設定）。

\(X_L = 2\pi \times 50 \times 0.2 = 62.8\) Ω、\(X_C = \dfrac{1}{2\pi \times 50 \times 100 \times 10^{-6}} = 31.8\) Ω
\(\dot{Z} = 30 + j(62.8 - 31.8) = 30 + j31.0 = 43.1\angle 45.9°\) Ω（誘導性）
電圧を基準にすると \(\dot{I} = \dfrac{100\angle 0°}{43.1\angle 45.9°} = 2.32\angle(-45.9°)\) A
\(V_R = 30 \times 2.32 = 69.6\) V、\(V_L = 62.8 \times 2.32 = 146\) V、\(V_C = 31.8 \times 2.32 = 73.8\) V

\(V_L\) は電源電圧の 100 V を超えています。検算すると \(\sqrt{69.6^2 + (146 - 73.8)^2} = 100\) V です。

RLC 並列回路¶

3 つの素子を並列につなぐと、すべての素子に同じ電圧 \(\dot{V}\) がかかります。直流の並列回路でコンダクタンスを足したのと同じく、アドミタンスを足します。

\[ \dot{Y} = \frac{1}{R} + \frac{1}{j\omega L} + j\omega C = G + j\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right) = G + j(B_C - B_L) \]

ここで \(G = 1/R\)、\(B_C = \omega C\)、\(B_L = 1/(\omega L)\) です。

並列回路では、電圧 \(\dot{V}\) が共通なので、電圧を基準にしてフェーザ図を描きます。

\(\dot{I}_R = G\dot{V}\)：電圧と同じ向き
\(\dot{I}_C = jB_C\dot{V}\)：電圧より 90° 進んだ向き（上）
\(\dot{I}_L = -jB_L\dot{V}\)：電圧より 90° 遅れた向き（下）

全体の電流は、キルヒホッフの電流則から \(\dot{I} = \dot{I}_R + \dot{I}_L + \dot{I}_C = \dot{Y}\dot{V}\) で、大きさは

\[ I = \sqrt{I_R^2 + (I_C - I_L)^2} \]

です。並列回路では、\(B_C > B_L\) のとき（キャパシタに多く流れるとき）に容量性、\(B_C < B_L\) のときに誘導性になります。

直列と並列の対応¶

直列回路と並列回路の式は、次の入れかえによって互いに移り変わります。

直列回路	並列回路
電流が共通	電圧が共通
インピーダンス \(\dot{Z}\) を足す	アドミタンス \(\dot{Y}\) を足す
\(\dot{Z} = R + j(X_L - X_C)\)	\(\dot{Y} = G + j(B_C - B_L)\)
電圧のフェーザを足す	電流のフェーザを足す
フェーザ図は電流を基準に描く	フェーザ図は電圧を基準に描く

片方を理解していれば、もう片方は入れかえによって得られます。

フェーザ図の描き方¶

基準を決める。 直列回路なら電流、並列回路なら電圧を右向き（0°）に描きます。すべての素子に共通な量を基準にすると、各素子の矢印の向きが「同じ向き・上・下」の 3 通りに決まります。
各素子の矢印を描く。 抵抗は基準と同じ向き、あとは 90° 進みか遅れです。
矢印をつなぎ合わせて和を作る。 原点から終点への矢印が全体の電圧（または電流）です。
角度を読む。 全体の矢印と基準の矢印の間の角度が、電圧と電流の位相差です。

まとめ¶

交流回路は、素子をインピーダンスに置きかえれば、直流回路と同じ方法で計算できる。
RLC 直列：\(\dot{Z} = R + j(X_L - X_C)\)、\(|\dot{Z}| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\)。
RLC 並列：\(\dot{Y} = G + j(B_C - B_L)\)。
各素子の電圧（電流）は位相が異なるので、実効値の単純な和は全体の値にならない。フェーザとして足す。

第10回 RLC の直列・並列¶